IEEE 802.11 PHY and OFDM(4) - Synchronization

Overview of Synchronization

• Carrier Frequency Offset (CFO)
  • Tx 使用的載波頻率 (carrier frequency) 和 Rx 會有一點不相同，即：$f^c_{\mathrm{Tx}} \ne f^c_{\mathrm{Rx}}$。
    • 例如：Tx 使用 $2.45001$ GHz 而 Rx 使用 $2.44998$ GHz。
  • 定義 CFO：$\Delta_f = f_{\mathrm{Tx}} - f_{\mathrm{Rx}}$。
  • CFO 是用來作時域 (time-domain) 上的訊號校正。
    • 對於時域 (time-domain) 上的訊號：$y'(t) = y(t) e^{2j \pi \Delta_f t}$。
      • $y'(t)$ 為實際的訊號，$y(t)$ 為理論的訊號。
      • CFO 會隨著時間累積。
    • CFO 校正：$y'(t) = y(t) e^{2j \pi \Delta_f t} \times e^{-2j \pi \Delta_f t}$。
      • $e^{2j \pi \Delta_f t}$ 和 $e^{-2j \pi \Delta_f t}$ 會相消。
      • CFO 可以透過「preamble」得到。
• Sample Frequency Offset (SFO)
  • Tx 使用的傳送 sample 的速率和 Rx 接收 sample 的速率會有一點不相同。
    • 例如：Tx 使用 $20.0001$ GHz 而 Rx 使用 $19.99997$ GHx。
  • 定義 SFO：$\delta = \frac{T_{\mathrm{Rx}} - T_{\mathrm{Tx}}}{T_{\mathrm{Tx}}}$。
  • SFO 是用來作頻域 (frequency-domain) 上的訊號校正。
    • 對於頻域 (frequency-domain) 上的訊號：$Y'[k] = Y[k] e^{2j \pi \delta k \phi}$。
      • $\delta k$ 為旋轉相位，而 $\phi$ 為常數。
      • 在第 $k$ 個 subcarrier 會作 $2j \pi \delta k \phi$ 的相位旋轉。
    • SFO 校正：$Y'[k] = Y[k] e^{2j \pi \delta k \phi} \times e^{-2j \pi \delta k \phi}$。
      • $e^{2j \pi \delta k \phi}$ 和 $e^{-2j \pi \delta k \phi}$ 會相消。
      • SFO 可以透過「引導載波 (pilot subcarrier)」得到。

Carrier Frequency Offset (CFO)

• 在實際的訊號傳遞過程，Tx 和 Rx 的振盪器 (oscillator) 不會有良好的同步。
  • 因此 Tx 和 Rx 之間的 carrier frequency 的會出現差距，即為 CFO $\Delta_f = f_{\mathrm{Tx}} - f_{\mathrm{Rx}}$。
  • 導致 carrier 之間彼此的互相干擾，稱作「載波間干擾 (inter-carrier interference; ICI)」。
• OFDM 對於 ICI 相當敏感。
• 如何估算 CFO？

  • 對於 Tx 而言，將基頻訊號 (baseband signal) $s(t)$ 進行「升頻轉換 (up-conversion)」至通頻訊號 (passband signal)。

    $$\begin{equation} r(t) = s(t) e^{j2 \pi f_{\mathrm{Tx}}t} \otimes h(t, \tau) \end{equation}$$

  • 對於 Rx 而言，將通頻訊號 (passband signal) $s(t)$ 進行「降頻轉換 (down-conversion)」至基頻訊號 (baseband signal)。

    $$\begin{align*} y_n & = r(nT_s)e^{-j2 \pi f_{\mathrm{Rx} t}} \\ & = s(nT_s)e^{j2 \pi f_{\mathrm{Tx} t}} e^{-j2 \pi f_{\mathrm{Rx} t}} \otimes h(nT_s, \tau) \\ & = s(nT_s)e^{j2 \pi \Delta_f t} \otimes h(nT_s, \tau) \\ \end{align*}$$

  • 由上式可以得，CFO 所造成的錯誤會隨著時間累積 $nT_s$。

CFO Correction in IEEE 802.11

• IEEE 802.11 重用 preamble 來進行 CFO 校正。
• 在 preamble 中，前半部分和後半部份相同。
  • 前半部分的 symbol 中的位元 $s_n$ 和後半部分的 symbol 的位元 $s_n + N$ 相同。
  • 但是，收到的訊號會發生不一樣的錯誤。
  • 如下圖所示，接收端連續收到的兩個 symbols 分別為 $y_n$ 和 $y_{n+N}$。
    • $y_n$ 額外旋轉的相位角為 $\Delta_f n T_s$，$y_{n+N}$ 額外旋轉的相位角 $\Delta_f (n+N) T_s$。

    • 如下式，透過 $y_{n+N} / y_n$ 找到 $\Delta_f$。其中，$y^*_n+N$ 為 $y_{n+N}$ 的倒數。

      $$\begin{align*} y_n y_{n + N}^* & = (s_n \otimes h)e^{j2 \pi \Delta_f nT_s}(s_n \otimes h) e^{-j2 \pi \Delta_f (n + N) T_s} \\ & = \color{blue}{ e^{-j2 \pi \Delta_f NT_s }} |(s_n \otimes h)|^2 \\ \end{align*}$$

    • 上式中的藍色部分，可以學到 CFO $\Delta_f$

      $$\begin{align*} & \measuredangle { \left( { \sum_N{ y_n y_{n+N}^* }} \right) } = -2 \pi \Delta_f NT_s \\ & \Rightarrow \tilde{ \Delta }_f T_s = \frac{-1}{2 \pi N} \measuredangle { \left( { \sum_N{ y_n y_{n+N}^* } } \right) } \\ \end{align*}$$
    • 將相位旋轉的部分移掉，就可以校正訊號。

Sampling Frequency Offset (SFO)

• Tx 的數位類比轉換器 (Digital to Analog Converter; DAC) 和 Rx 的類比數位轉換器 (Analog to Digital Converter; ADC) 永遠不會用相同的取樣週期 (sampling period)，即：$T_{\mathrm{Tx}} \ne T_{\mathrm{Rx}}$。
• SFO 造成的相位錯誤 (phase errors)
  • 假設收到的訊號沒有殘留的 CFO，則在收到訊號中第 i 個 symbol 中的第 $k$ 個 subcarrier 可以寫成：$Y_{i, k} = H_k X_{i, k} e^{j2 \pi \delta k \phi}$。
    • 證明：
      • $N_{CP}$ 為一個 CP 的 sample 個數。
      • $N_{FFT}$ 為 FFT 的 window 大小。
      • $N_S = N_{FFT} + N_{CP}$ 為 symbol 的大小。
      • $\phi = 0.5 + \frac{iN_s + N_{CP}}{N_{FFT}}$ 表示symbol $i$ 的起始 phase error，為常數。
  • 所有收到的訊號會有相同的取樣差距 (sampling offset)，但是有不同的頻率 $k$。
    • 每一個 subcarrier 都會有旋轉固定的相位角 $2 \pi \delta \phi$，其中 $\phi$ 是常數。
    • 會造成載波間干擾 (Inter-carrier interference; ICI)，
• SFO 造成的取樣旋轉 (sample rotation)
  • 不同 subcarrier 所增加的 phase errors 會讓訊號在 I-Q 平面圖上的旋轉。
  • 一般來說，理想的 BPSK 訊號並不會發生旋轉。

SFO 和 CFO 造成的相位錯誤 (phase errors)

• 在頻域 (freqency-domain) 的訊號中，收到訊號中第 i 個 symbol 中的第 $k$ 個 subcarrier 可以寫成：$Y_{i, k} = H_k X_{i, k} e^{j2 \pi (\Delta_f T_{FFT} + \delta k) \phi}$。
• 由下圖可以看出，SFO 在 I-Q 平面上的意義是「斜率的變化」，而 CFO 是 「$y$ 軸的截距」。

利用 data 輔助相位追蹤 (phase tracking)

• 一般來說，WiFi 保留 $4$ 個 subcarrier 為已知的「引導位元 (pilot bits)」來計算出 $H_k e^{2j \pi (\eta + \theta_k)} = Y_k / X_k$。
• 藉由引導位元 (pilot bits) 所受到的相位差作「線性回歸 (linear regression)」可以估算出 SFO $\theta_k$ 和 CFO $\eta$。

• 透過每個 symbol $k$ 的 $H'_k = H_k e^{2j \pi (\eta + \theta_k)}$ 來更正接收到的頻道，然後對剩下非引導載波 (non-pilot subcarrier) 進行 decoding。

  $$\begin{align*} & Y_{i, k} = H_k X_{i, k}e^{j2 \pi (\eta + \theta k)} = H'_k X_{i, k} \\ & \Rightarrow \hat{X}_{i, k} = Y_{i, k} / H'_k \end{align*}$$
• 在 phase tracking 之後，對 I-Q 平面的訊號進行 decoding 可以得到下圖。

References

• 「無線訊號系統與實作 2018 - 林靖茹老師授課」Wireless Communication Systems 2018 @CS.NCTU

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