IEEE 802.11 PHY and OFDM(2) - OFDM Basics

Narrow-Band Channel Model

• 訊號在無線頻道傳輸可以表示為：$y = hx + n$。
  • $h = a e^{2j \pi f \delta}$ 表示 Tx 和 Rx 之間傳輸的頻道 (channel)。
    • $a$：表示「收到訊號的振幅」。
    • $\delta$：表示「傳遞的延遲時間 (propagation delay)」。
  • 一般來說，窄頻 (narrow-band) 和 寬頻 (wide-band) 的差別在於：
    • 窄頻 (narrow-band) 可以將傳遞過程中的 $h$ 視為一個不變數。
    • 寬頻 (wide-band) 則將傳遞過程中的 $h$ 表示為多個頻道 $h_1 + h_2 + h_3 + ...$ 的組合。
• 如何對 $x$ 進行解碼 (decoding)？
  • 從上述的式子 $y = hx$ 經由移項可以推得 $x = y / h + n'$ ($n' = n / h$)。
  • 但是，關鍵在於「如何估算出 $h$？」才能夠進行解碼 (decoding)。
    • 可以利用 已知的 preamble 去估算出 $h$，原因是 $y = hp + n$，其中 $p$ 為已知 的 preamble，因此可以得到 $h' = y / p$。
      • $h'$ 為接收端估算出來的頻道。
  • 以上估算出 $h$ 的過程稱作「頻道估算 (channel estimation)」。

Why OFDM?

• 由以上頻道估算 (channel estimation) 的過程，我們已經得到解碼 (decoding) 後的 $x' = y / h'$。
• OFDM (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing) 只能用於窄頻 (narrow-band) 而不能用於寬頻 (wide-band)，例如：IEEE 802.11 $20 \mathrm{MHz}$。
  • 在不同窄頻頻帶上的頻道會不一樣！

• 簡單來說，寬頻和窄頻的差別可以想像成下圖：假設將訊號傳遞比喻成不斷供應水源，而將頻帶比喻成運送的貨車，如果是寬頻，就像是一台大貨車把所有的水一次運走，而窄頻就像是分給多個小貨車運送，只是在 OFDM 中是採用多個彼此互相正交的子頻道或子載波 (subchannel; subcarrier)。

Why OFDM is Better?

• 由下圖可以看出，如果是多個 subchannel 傳送 samples 可以在較低的傳送速率 (data rate) 傳送，換言之，就是頻寬較小。在寬頻的頻道中，幾乎都是使用同一個較大的頻寬。
• 只會有一些 subchannel 會受到干擾 (interference) 或是多重路徑的影響 (multi-path effect)。

• 「正交 (orthogonality)」的重要性
  • 如果都是使用多個不同的 subchannel 來做傳送，為何不使用 FDM 就好，反而要使用 OFDM 呢？
  • FDM 的每個 subchannel 因為彼此之間沒有正交，因此每個 subchannel 會受到來自鄰近 subchannel 的 leakage interference 的影響，導致相鄰的 subchannel 無法用來傳送。
  • 因此需要設有「保護頻帶 (guard band)」，來確保相鄰的 subchannel 之間不會互相干擾。
  • OFDM 的每個 subchannel 因為彼此之間互相正交，因此不需要設有保護頻帶 (guard band)。

Key to Achieve Orthogonality: FFT

• 傅立葉轉換 (Fast Fourier Transform; FFT)： 任何的波形都是 sine 波的加總。
  • 傅立葉理論 (Fourier’s theorem)：任何在時域 (time-domain) 上波形都可以表示成 sine 波的加總。
  • 以下圖為例，將訊號作 modulation 是在頻域 (frequency-domain) 上，而實際上在空氣中傳送的是在時域 (time-domain) 上的訊號。
• FFT v.s. iFFT
  • FFT 是將訊號由時域 (time-domain) 轉換到頻域 (frequency-domain) 上。
  • iFFT 是將訊號由頻域 (frequency-domain) 轉換到時域 (time-domain) 上，即為：逆傅立葉轉換 (inverse FFT)。
  • 在轉換回頻域 (frequency-domain) 之後，要如何知道頻域 (frequency-domain) 的係數 (e.g., a, b, c, etc.) 呢？稍後解釋。

OFDM Basics

• 簡單來說，可以將 OFDM 分為以下在傳送和接收端的步驟：
  1. 將 wide-band 分為多個 narrow subcarrier $f_1$，$f_2$，$f_3$,，… $f_N$。
  2. 將訊號位元表示成頻域 (frequency-domain) 上的訊號 (每個 subcarrier 上的振幅)。
     • 例如：假設我們要傳送的訊號為 $[1, -1, 1, 1]$，則讓 $[1, -1, 1, 1]$ 為頻域 (frequency-domain) 上的訊號。
  3. Tx 使用 iFFT 將頻域 (frequency-domain) 上的訊號位元轉換到時域 (time-domain) 上並傳送到空氣中。
     • 例如：傳送 $1 \times e^{f_1} + (-1) \times e^{f_2} + 1 \times e^{f_3} + 1 \times e^{f_4}$。
  4. Rx 使用 FFT 將收到的訊號從 time-domain 上轉換到頻域 (frequency-domain) 上擷取出訊號位元。
     • 例如：$[1, -1, 1, 1] = FFT(1 \times e^{f_1} + (-1) \times e^{f_2} + 1 \times e^{f_3} + 1 \times e^{f_4})$。

• 子載波之間的正交性
  • 假設時域 (time-domain) 的訊號以 $x(t)$ 表示，頻域 (frequency-domain) 的訊號以 $X[k]$ 表示。
  • 所謂的編碼 (encoding)，就是將頻域 (frequency-domain) 上的 samples 轉換到時域 (time-domain) 上的 samples。
  • 所謂的解碼 (decoding)，就是將 time-domain 上的 samples 轉換到 frequency-domain 上的 samples。
  • 因為 subcarrier 之間彼此正交，所以作內積運算的結果會是 $0$。
• Serial 轉換到 Parallel
  • 假設我們使用 BPSK 和 4 個 subcarriers 傳送一連串的 samples。
  • 將 samples 由 serial 的頻域 (frequency-domain) 轉換到 parallel 的時域 (time-domain)。
  • 將時域 (time-domain) 的 sample 由 parallel 轉換到 serial 並傳送出去。

References

• 「無線訊號系統與實作 2018 - 林靖茹老師授課」Wireless Communication Systems 2018 @CS.NCTU

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