Basics of Wirless Communication(1) - Introduction

關於無線訊號 (Wirless Signal)

• 一般來說，可以將無線訊號 (wireless signal) 視為 $\sin$ 函式的組合，以複數平面表示：

  $$\begin{equation} e^{jx} = \cos{x} + j \sin{x} \end{equation}$$

  

• 當無線訊號在空氣中傳遞時，我們可以表示為以下的方程式：
  • $y$：接收端所收到的訊號。
  • $x$：傳送端所傳遞的訊號。
  • $h$：訊號傳遞過程所使用的頻道 (channel)。
  • $n$：訊號在傳遞過程中的附帶的雜訊 (noise)。
• 所謂的「頻道 (channel)」是指訊號在空氣中的變化量 (振幅與相位)，而訊號在空氣中傳遞時所使用的頻道，一般表示為以下的方程式：
  • $\alpha$：訊號在該頻道傳遞時的振幅 (amplitude)。
  • $\theta$：訊號因傳遞過程中所造成的相位差 (phase change)。

訊號星座圖 (Constellation Diagram)

• 一般來說，可以將訊號表示為 $\sin$ 波的形式：

  $$\begin{equation} x(t) = I(t) \cos{(\omega t)} + Q(t) \sin{(\omega t)} \end{equation}$$
  • 同相 (inphase)：$I(t) \cos{(\omega t)}$。
  • 正交 (qadrature)：$Q(t) \sin{(\omega t)}$。

  • 推導過程：

    $$\begin{align*} x(t) & = A(t) \cos{(\omega t + \theta (t))} \\ & = A(t) \frac{e^{j (\omega t + \theta (t))} + e^{-j (\omega t + \theta (t))}}{2} \\ & = Re [A(t) e^{-j (\omega t + \theta (t))}] \\ & = Re [A(t) e^{-j \omega t} e^{-j \theta (t)}] \\ & = Re [x(t) e^{-j \omega t}] \\ & = Re [(I(t) + j Q(t)) e^{-j \omega t}] \\ & = I(t) \cos{(\omega t)} + Q(t) \sin{(\omega t)} \end{align*}$$

• 訊號星狀圖 (Constellation Diagram)

  • 由以上的表示式，我們可以將訊號以「星狀圖」的方式呈現出來，其中橫坐標為 「同相 (inphase)」，縱座標為「正交 (quadrature)」。

  • 由以上的表示式，可以將訊號表示為複數複數 (complex number) 型式：

    $$\begin{align*} x(t) & = A(t) \cos{(\omega t + \theta (t))} \\ & = I(t) \cos{(\omega t)} + Q(t) \sin{(\omega t)} \\ & = I(t) + j Q(t) \end{align*}$$
    • 實數部分 (real part)：$\cos$ 載波的部分。
    • 虛數部分 (image part)：$\sin$ 載波的部分。
  • 為什麼要以「複數」來表示訊號？
    • $\sin$ 與 $\cos$ 彼此之間相互正交 (orthogonal)。
    • 當兩個載波的頻率 (frequency) 相同時，資料傳速 (data rate) 會上升。

訊號功率 (Signal Power)

• 瓦特 (Watt) v.s. 分貝毫瓦 (Decibel-milliwatt; dBm)
  • 分貝毫瓦 (Decibel-milliwatt; dBm) 較常用於「無線電強度」的量測單位。
  • 以 分貝 (decibel; dBm) 為單位，能夠縮短數值範圍，能以較小的數字表很大與很小的值。
  $$\begin{align*} & P_{\mathrm{dBm}} = 10 \log_{10} (1000 P_{\mathrm{W}}) \\ & P_{\mathrm{W}} = \frac{10 ^ {P_{\mathrm{dBm}} / 10}}{1000} \end{align*}$$
• 分貝 (Decibels; dB)
  • 任兩個「以 dBm 為單位的值」之差距，以分貝 (dB) 表示。
  • 任兩個功率的比值，即為：「任兩個 dBm 之間的差距」。
  $$\begin{align*} \mathrm{Ratio_{\mathrm{dB}}} & = 10 \log_{10} {\frac{P_1}{P_2}} \\ & = 10 \log_{10} {P_1} - 10 \log_{10} {P_2} \\ & = P_{1, \mathrm{dBm}} - P_{2, \mathrm{dBm}} \end{align*}$$

訊號雜訊比 (Signal-to-Noise Ratio; SNR)

• 訊號雜訊比 (Signal-to-Noise Ratio; SNR)

  $$\begin{equation} \mathrm{SNR} = \frac{S}{N} \end{equation}$$

  • 以分貝 (dB) 為單位表示：$\mathrm{SNR_\mathrm{dB}} = 10 \log_{10} {\frac{S}{N}}$

  • 由訊號方程式：$y = hx + n$

    $$\begin{equation} \mathrm{SNR_\mathrm{dB}} = \frac{ | h | ^ 2 }{ \mathbb{E}[ | n | ^ 2 ] } \end{equation}$$
• 如何求得 SNR？
  • 「接受到的訊號與發送訊號之間的差異」即為雜訊 (noise)。
  • 假設發送訊號為 $s = 1 + 0i$，接受到的訊號為 $s' = a + bi$。

  • 訊號功率 (signal power)：

    $$\begin{equation} s ^ 2 = |1 + 0i| ^ 2 \end{equation}$$

  • 雜訊功率 (noise power)：

    $$\begin{align*} | s' - s | ^ 2 & = | (a + bi) - (1 + 0i) | ^ 2 \\ & = | (a - 1) + bi | ^ 2 \end{align*}$$

  • 訊號雜訊比 (Signal-to-Noise Ratio; SNR)：

    $$\begin{equation} \mathrm{SNR_\mathrm{dB}} = \frac{ | 1 + 0i| ^ 2 }{ | (a - 1) + bi | ^ 2 } \end{equation}$$

• 因為 $\log$ 運算的特性，當訊號的功率變為兩倍時，會增加$3 \mathrm{dB}$的增益 (gain)。

  $$\begin{equation} \mathrm{SNR_\mathrm{dB}} = 10 \log_{10} { \mathrm{SNR}} \\ P_1 = 2 \times P_2 \Leftrightarrow P_{1, \mathrm{dBm}} = P_{2, \mathrm{dBm}} + 3 \mathrm{dB} \end{equation}$$

References

• 「無線訊號系統與實作 2018 - 林靖茹老師授課」Wireless Communication Systems 2018 @CS.NCTU

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